С сайта Вы всего-навсего скачиваете задание. Скачав задание, страницу можно закрыть. Всю дальнейшую работу - скачивание и раздачу - выполняет клиент, BitComet в Вашем случае. Он-то и должен быть активным для раздачи после завершения скачивания.
На форуме есть
тема по настройке BitComet. В частности, на странице "Задание" нужно поставить птичку "Отменить переход в ждущий/спящий режим, если есть запущенное задание". Но и остальные настройки не поленитесь проверить!